Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola

Témavezető:Dr. Simon Károly

BME Természettudományi Kar, Sztochasztika Tanszék

Nem konformális attraktorok dimenzió elmélete

A kutatási téma néhány soros bemutatása

  Az n-dimenziós (n>1) Euklideszi teret kontraktív módon önmagába képező véges sok sima leképezések egy listáját Iterált Függvény Rendszernek (IFS) hívjuk. Ha a leképezések olyanok, hogy minden pontban a derivált leképezésük egy hasonlóság, akkor az IFS konformális. A nem konformális IFS-ek attraktoráról meglepően keveset tudunk még abban az esetben is ha az IFS minden eleme affinitás, még a legegyszerűbb, diagonálisan önaffin esetben is. Abban az esetben, mikor a nem konformális IFS általánosabb függvényekből áll az attraktor Hausdorff dimenziójára csak felső becslést tudunk adni általános esetben.
  A diagonálisan önaffin iterált függvényrendszerek attraktorának és invariáns mértékének tanulmányozása során, amikor azok Hausdorff dimenzióját vizsgáljuk,
fontos szerephez jut a Leddrappier-Young tételkör, illetve az alterekre vett projekciók invariáns mértékének és attraktorának Hausdorff dimenziója. Általában a projekcióval származtatott iterált függvényrendszerekben átfedés van, azaz nem teljesítenek szeparációs feltételeket, például a nyílt-halmaz feltételt (OSC).
  Egydimenziós, átfedő, paraméteres IFS rendszerek dimenzióelméletének vizsgálatának egyik módszere a Simon Károly és Mark Pollicott által bevezetett tranzverzalitás. Ebben az esetben a mérték és attraktor Hausdorff dimenziója kiszámítható majdnem minden paraméter esetén. Célom a valós számegyenesen bonyolult átfedésű rendszerek Hausdorff dimenziójának tanulmányozása és ezen eredmények felhasználása magasabb dimenziós rendszerekre.