Csonka Pál Doktori Iskola

Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék

dr. Sajtos István

Geometriai módszer alkalmazása gömbhéjak horpadásának vizsgálatához

A kutatási téma néhány soros bemutatása

 A kutatás során a koncentrált erővel vagy megoszló teherrel terhelt teljes gömbhéj stabilitásvesztésével, a horpadással foglalkozunk. A horpadás jelenségkörében több kérdés nincs még kellően tisztázva. Megfigyelhető, hogy a horpadáshoz tartozó teherrel kapcsolatos elméleti és kísérleti eredmények eltérnek, illetve egy gömbhéjat vizsgálva több, eltérő jellegű horpadási alak is lehetséges, melyek közül ugyanaz a héj esetenként többfélét is felvehet. Számos esetben tapasztalható az is, hogy a horpadt gömbhéj tehermentesítés után is megtartja alakváltozott állapotát. Ezekre a jelenségekre, az ezekhez kötődő kérdésekre kísérelünk meg magyarázatot, választ adni.

A kutatóhely rövid bemutatása

 A Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék szerkezetek tervezésével, méretezési problémák széles körével foglalkozik. A kutatási témák acél-, fa-, vasbeton, falazott és kompozit szerkezetekkel kapcsolatosak. Ezen túl morfológiai, topológiai problémák, héjszerkezetek stabilitásának vizsgálata is részét képezi a kutatási tevékenységnek, részben elméleti, részben gyakorlati szempontból. Eddig 17 sikeres PhD-védés volt a tanszéken.

A kutatás történetének, tágabb kontextusának bemutatása

 Héjaknak nevezzük a görbült középfelületű, viszonylag kis vastagsággal rendelkező felületszerkezeteket. Ezek a mérnöki gyakorlatban számos helyen előfordulnak, például kupolák (1. ábra), silók, tartályok, nyomástartó edények, közúti, légi (2. ábra) és vízi járművek, mikrokapcsolók formájában. A héjakhoz hasonló felépítésű és viselkedésű szerveződések a természetben is sok esetben megfigyelhetők, amire példaként említhetők az őssejtek (3. ábra), az egysejtű élőlények, a baktériumok (4. ábra) vagy a szervek (szív, keringési rendszer). A mérnöki szerkezeteknél gyakran számolni kell a stabilitásvesztés veszélyével, azaz a szerkezetet leíró geometria változása következtében fellépő hirtelen teherbírás-változással. A héjak stabilitásvesztése a horpadás. A héjak horpadási teherbírásának meghatározása nem egyszerű és nem is teljesen kidolgozott feladat. Az elméleti és kísérleti eredmények között fennálló különbség nem feltétlenül csak a kísérletekben megjelenő alakhibák következménye, hanem az elméleti modellek hiányosságaiból is eredeztethető.

1. ábra

2. ábra

3. ábra

4. ábra

 A. V. Pogorelov az 1950-es években dolgozta ki az úgynevezett geometriai héjhorpadás-elméletet. Bár kidolgozása óta ismert a kutatók előtt, alkalmazhatóságát korlátozta az, hogy a horpadt alak meghatározását, felvételét főként csak kísérletekre alapozták. Az utóbbi 10 évben főként a fizikusok használták Pogorelov elméletét, akik a héjfelület horpadt alakjának meghatározását már matematikai alapokra helyezték, azonban a héj teher-elmozdulás diagramját főként kvalitatívan vizsgálták. Mérnöki szempontból a horpadási teher és alak kvantitatív meghatározása is fontos.

A kutatás célja, a megválaszolandó kérdések

 A kutatás fő célja elsősorban a gömbhéjak teher-elmozdulás diagramjának meghatározása a Pogorelov-féle geometriai héjhorpadás-elmélet alapján. A teher-elmozdulás diagram meghatározása azért fontos, mert az ezen szereplő nevezetes pontok megfelelnek a héj horpadási terhének. A valódi (nem tökéletes) héjak viselkedését leíró teher-elmozdulás diagram (5. ábra) jellemzően egy maximum- és egy minimumhellyel rendelkezik, melyekhez tartozó teherértékek elnevezése felső- és alsó kritikus teher. Az elméleti (tökéletes) héj teher-elmozdulás diagramjának maximumhelye a lineáris kritikus teher, ennek sokszor csak töredékét éri el a valóságos héj.

5. ábra

 A horpadási teher meghatározásakor figyelembe kell venni, hogy a horpadás során a horpadási alaknak nemcsak a mérete változhat, hanem a formája, jellege is. Gömbhéjak esetén ez azt jelenti, hogy bizonyos esetben a horpadási alak kör alakú, azaz forgásszimmetrikus, míg más esetekben sokszög alakú, azaz diszkrét fogásszimmetriával rendelkezik, amelynek a ciklusszáma (azaz a sokszög oldalainak száma) változhat akár a teher növekedésével is. A horpadási alakot a héj méretei, rugalmassági adatai, megtámasztási viszonyai, a teher jellege és intenzitása határozhatják meg. A kutatás fontos célja tehát annak meghatározása is, hogy adott körülmények között milyen horpadási alakok jöhetnek létre. Ezen alakoknak a teher-elmozdulás diagramon különböző egyensúlyi utak, illetve egyensúlyi felületek felelnek meg, ezek összemetsződései elágazásokat, az egyes alakok közti átmenetet jelenthetnek.
 Várhatóan e vizsgálatok alapján megadhatók azok a görbületi és méretviszonyok, illetve teherfajták, amelyek estén lehetséges negatív horpadási teher. Ezzel igazolhatóvá válhat az a tapasztalat – melynek egyértelmű elméleti alátámasztása még nem létezik –, hogy tehermentesítéskor a rugalmas anyagú héj gyakran nem tér vissza, nem pattan vissza eredeti helyzetébe. Ennek igazolása szintén fontos célja a kutatásnak.

Módszerek

 A kutatás során a horpadási alak egyre pontosabb figyelembevétele vált indokolttá. A kutatás kezdete a Pogorelov által az 1950-es években kidolgozott, a kutatók által ma is használt módszerhez, az úgynevezett geometriai héjhorpadás-elmélethez kapcsolódik. Ez alapján a héj egyensúlyi helyzetei energiamódszerrel kereshetők úgy, hogy a gömbhéjfelület horpadási alakja – közelítésként – az eredeti gömbfelület izometrikus transzformáltjához közeli alak [3].
 Fizikai értelemben egy felület izometrikus transzformáltja a felület nyúlásmentes alakváltozások mellett előállítható formája. Ez azt jelenti, hogy a felület alakját nyújtás, összenyomás, bevágás és torzítás nélkül, pusztán hajlítással változtatjuk meg, mint például egy papírlap hajtogatása esetén. Általában a héjakra igaz, hogy – kis vastagságuk következtében – hajlítómerevségük jóval kisebb, mint a felület adott helyen vett érintősíkjába eső hatásokkal (nyúlás, szögtorzulás) szembeni merevségük. Így indokolható azt feltételezni, hogy a héj nagyrészt nyúlásmentes alakváltozásokat szenved a horpadás során.
 A kutatás elején Pogorelov módszerének kis módosításokkal történő alkalmazásával sikerült néhány egyszerűbb esetben meghatározni a teljes gömbhéj teher-elmozdulás diagramját, ezáltal a héj horpadási terhét [1], [2]. A horpadási alak ekkor az eredeti gömbfelület egy részének inverziójával előállítható izometrikus transzformált alak volt (6. ábra), ez forgásszimmetrikus horpadási alakot jelentett, ahol a horpadt rész pereme kör.

6. ábra

 Ezt követően izometrikus transzformált alak helyett ahhoz közeli, de az eredeti felületnek már nyúlásmentes alakváltozásokkal nem előállítható formájaként határoztuk meg a horpadt alakokat. Ezek az alakok a kísérletek során is megjelennek, és általában úgynevezett diszkrét forgásszimmetriával rendelkeznek, azaz valamilyen szabályos sokszöghöz hasonlít a horpadási élek hálózata (7. ábra). Ilyen alakokat bárki megfigyelhet egy pingponglabdánál. Megválaszolandó az a kérdés, hogy adott körülmények között milyen alakot vesz fel a horpadt héj. Eleinte egyszerűsítésként elhanyagoltuk a nyúlási alakváltozási energiát azokban az esetekben is, ahol az nyilvánvalóan fellépett, és a horpadási alakot sík lapok által alkotott gúlával közelítettük. Az így kapott eredmények azt mutatták, hogy a különböző szabályos sokszögekkel jellemezhető horpadási alakokhoz tartozó görbék a teher-elmozdulás diagramon nem esnek egybe, de egymáshoz viszonylag közel helyezkednek el, ezért pontosabb vizsgálat szükséges.

7. ábra

 Ez a felismerés indokolta, hogy a nyúlási alakváltozási energiát is figyelembe kell venni, hogy pontosabb eredményhez jussunk. Ezzel párhuzamosan alakult ki, hogy a horpadási alakot nem csak egy változó jellemzi, hanem három [4]. A jelenlegi modellben a horpadási alakot a következő változók írják le: a horpadás középpontjának mélysége, az úgynevezett belső kör (a horpadt rész közepén elhelyezkedő, az eredeti gömbfelület egy részének inverziójával előállítható felületdarab) sugara, és a horpadási sokszög oldalszáma (8. ábra). A változók száma indokolja, hogy numerikus módszer segítségével keressük az egyensúlyi helyzeteket. A teher-elmozdulás diagramon nem görbéket alkotnak az egyensúlyi helyzetek, hanem egyensúlyi felületek alakulnak ki (9. ábra).

8. ábra

9. ábra

Eddigi eredmények

 A kutatás kezdetén forgásszimmetrikus horpadási alakot feltételeztünk, tehát a gömbhéj horpadt alakját az eredeti héjfelület egy részének izometrikus transzformáltjaként vettük fel. Az eredmények, amelyeket ezzel a feltételezéssel kaptunk, a párhuzamos, egyenletesen megoszló teher esetében észrevehetően különböznek a Pogorelov által közöltektől. Ennek az az oka, hogy Pogorelov simuló forgásparaboloiddal közelítette a horpadt alakot, ami valójában – legalábbis a feltételezés szerint – az eredeti gömb inverziójával, tükrözésével kapható, tehát gömb. Fontosnak tartjuk, hogy sikerült azt tisztázni, hogy koncentrált teher esetén a gömbhéj emelkedő teher-elmozdulás diagrammal rendelkezik (10.a ábra), míg párhuzamos, egyenletesen megoszló teher, illetve radiális, egyenletesen megoszló teher esetén egy minimumhellyel rendelkezik a függvény (10.b ábra).

10. ábra

 Az ezt követő kutatási munkában izometrikus transzformált alak helyett ahhoz közeli, de az eredeti felületnek már nyúlásmentes alakváltozásokkal nem előállítható formájaként határoztuk meg a nem forgásszimmetrikus horpadt alakokat. A vizsgálatok során először a nyúlási alakváltozási energiarészeket elhanyagoltuk. A különböző szabályos sokszögekkel jellemezhető horpadási alakokhoz tartozó görbék a teher-elmozdulás diagramon egymáshoz közel helyezkedtek el (11. ábra), ezeket az eredményeket tartalmazza [1]. Mindez pontosabb modell alkotását indokolta.

11. ábra

 A következő modellben a horpadási alakot több változó írja le: a horpadás középpontjának mélysége, a horpadt rész közepén elhelyezkedő, az eredeti gömbfelület egy részének tükrözésével előállítható felületdarab sugara és a horpadási sokszög oldalszáma. Az egyensúlyi helyzetek nem görbéket alkotnak a teher-elmozdulás diagramon, hanem egyensúlyi felületeket. Ezek keresése egy, az ún. gradiens-módszeren alapuló numerikus módszerrel történik. Megemlítendő, hogy a legújabb változatban már a nyúlási alakváltozási energiarészeket is tartalmazni fogják az egyenletek.

Várható impakt, további kutatás

 A további kutatáshoz szükséges megvizsgálni, hogy az eredmények hogyan alkalmazhatók a mérnöki problémák és a biológia területén. A horpadási alak és teherbírás geometriai, szilárdsági paraméterektől és teherfajtától való függésének további vizsgálata is célként szerepel.
 A kísérletekben is tapasztalható horpadási alakokhoz tartozó teher ismerete pontosítja és megbízhatóbbá teszi a „gömbből készült” szerkezetek méretezését. A gömbre kapott eredmények általánosítása lehetővé teszi tetszőleges görbületi viszonyokkal bíró elliptikus héjfelületek pontosabb horpadásvizsgálatát.

Saját publikációk, hivatkozások, linkgyűjtemény

[1] Vető, D. – Sajtos, I.: Application of Geometric Method to Determine the Buckling Load of Spherical Shells. Pollack Perodica, 4 (2), 123–134. oldal (2009)

[2] Vető, D. – Sajtos, I.: Application of Geometric Method to Determine the Buckling Load of Spherical Shells. ed.: Lehoczky, L.: XXIII. microCAD International Scientific Conference, University of Miskolc, 2009. március 19–20., Miskolc Innovation and Technology Transfer Centre, Miskolc, 61–66. oldal (200.)

[3] Vető, D. – Sajtos, I.: Application of Geometric Method to Determine the Buckling Load of Spherical Shells. ed.: Iványi, M.: Pollack PhD, Fourth International PhD, DLA Symposium, University of Pécs, Pollack Mihály Faculty of Engineering, 2008. október 20–21., Pécs, Rotari Press, Komló, 61. oldal (2008)

[4] Vető, D. – Sajtos, I.: Investigation of Buckling of Spherical Shells. FUDoM 09, Finno-Ugric International Conference of Mechanics, 2009. augusztus 23–29., Ráckeve, 31–32. oldal (2009)