Matematika és Számítástudományok Doktori Iskola

Sztochasztika Tanszék/Matematika Intézet

Témavezető: Tóth Bálint

Horváth Illéssel közös munka

Öntaszító bolyongások vizsgálata

A kutatási téma néhány soros bemutatása

A kutatásokat Horváth Illéssel (doktorandusz hallgató, Sztochasztika Tanszék) és Tóth Bálinttal (egyetemi tanár, Sztochasztika Tanszék) közösen végzem. Öntaszító bolyongásnak egy természetes modelljét tekintjük, az ún. „rövidlátó'' öntaszító bolyongást (myopic self-avoiding walk). Ebben egy részecske véletlenszerűen ugrál a d dimenziós egész rács csúcsain olyan szabályok szerint, melyben a bolyongó a szomszédos csúcsok közül arra ugrik nagyobb valószínűséggel, ahol korábban kevesebb időt töltött. Ez az ugrási szabály a részecskét lokálisan a korábban keveset látogatott területek felé löki. Jelen kutatásunk célja leírni a bolyongó részecske mozgásának hosszú távú alakulását nagyságrendi korlátok és határeloszlás-tétel segítségével.

A kutatóhely rövid bemutatása

A Sztochasztika Tanszék nemzetközi szinten is erős kutatóhely a valószínűség-számítás és sztochasztika területén. A tanszék profiljában a sztochasztika területeinek széles skálája megtalálható, úgymint véletlen bolyongások, sztochasztikus folyamatok és határeloszlás-tételek (Tóth Bálint, egyetemi tanár), dinamikai rendszerek (Szász Domokos, egyetemi tanár), kölcsönható részecskerendszerek (Balázs Márton, docens), véletlen fraktálok (Simon Károly, egyetemi tanár), információelmélet (Csiszár Imre, professor emeritus) és sztochasztikus analízis (Szabados Tamás, docens). Kiváló kutatási környezetet biztosítanak jelenleg 8 aktív doktorandusz hallgatónak, valamint a kutatásokba bekapcsolódó további fiataloknak.

A kutatás történetének, tágabb kontextusának bemutatása

A rövidlátó öntaszító bolyongás modelljét először Amit, Parisi és Peliti vezették be 1983-ban a fizikai irodalomban [APP83]. Egyúttal meg is fogalmaztak egy sejtést a rövidlátó öntaszító bolyongás viselkedéséről különböző dimenziókban, melyet a következőkben ismertetek.

Az egyszerű d dimenziós szimmetrikus bolyongás (melyben minden szomszédos csúcsot egyforma valószínűséggel választunk) három és magasabb dimenzióban tranziens, azaz csak véges sokszor tér vissza a kiindulási pontba, ezzel szemben egy és két dimenzióban végtelen sok visszatérés történik. Három és magasabb dimenzióban a rövidlátó öntaszító bolyongás is ugyanígy viselkedik hosszú távon, mert a tranziens esetben az öntaszító hatás eltűnik nagy léptékű idő esetén. t lépés megtételével a kiindulási ponttól megtett tipikus távolság t négyzetgyöke körül ingadozik nagy t esetén. A helyzetet t négyzetgyökével osztva a kapott véletlen vektor normális (Gauss) eloszláshoz konvergál. Továbbá a bolyongó teljes pályáját ugyanígy skálázva a kapott véletlen trajektória Brown-mozgáshoz konvergál. Az egy- és kétdimenziós esetben az öntaszítás hatása számottevő, és azt eredményezi, hogy a kiindulóponttól számított tipikus távolság nagyobb nagyságrendű, és egy dimenzióban a határeloszlás bonyolult, Gausstól eltérő. Részletekért lásd [T95], [TV08], [TV09] és [V09].

A kutatás célja, a megválaszolandó kérdések

A kutatás célja a rövidlátó öntaszító bolyongásra vonatkozó fenti sejtések matematikailag precíz bizonyítása. Jelen kutatási projektben közösen dolgoztunk a három- és magasabb dimenziós eseten Horváth Illéssel és Tóth Bálinttal. Célunk annak bizonyítása, hogy a bolyongás viselkedése hosszú idő elteltével megegyezik az egyszerű, szimmetrikus bolyongáséval: a bolyongó helyzetének négyzetgyökös skálázása után közelítőleg normális (Gauss) eloszlás adódik, vagyis a rövidlátó öntaszító bolyongásra teljesül a centrális határeloszlás-tétel. Ezen kívül feladat még a bolyongó helyzetére vonatkozó úgynevezett diffúzív alsó és felső korlátok bizonyítása, melyek azt biztosítják, hogy a normális eloszlás nem elfajuló. Ezen kitűzött célokat elértük, és az elért eredményeket közlésre benyújtottuk [HTV10].

A kutatások folyamán megvizsgáltunk egy hasonló modellt, az ún. ,,öntaszító Brown-polimert'' (self-repelling Brownian polymer), melyet Durrett és Rogers vezetett be 1992-ben [DR92]. Ez a modell tekinthető a rövidlátó öntaszító bolyongás folytonos térben történő megfelelőjének, amelyben egy részecske úgy végzi diffúzió mozgását a d dimenziós térben, hogy a mozgást vezérlő szabály a bolyongót a kevesebbet látogatott területek felé löki. Erre a modellre is bizonyítottuk három és magasabb dimenzióban a diffúzió korlátokat és a centrális határeloszlás-tételt, és az eredményeket közlésre benyújtottuk  [HTV10].

Kidolgoztunk továbbá egy új elméleti módszert a centrális határeloszlás-tételre. Ezen módszerre végül is nem volt szükség sem a magas dimenziós rövidlátó öntaszító bolyongás, sem a magas dimenziós öntaszító Brown-polimer vizsgálatához. Új célunk ezen módszer alkalmazhatóságának vizsgálata olyan modellekre, ahol a korábbi módszerek nem vezettek eredményre.

Módszerek

A három és magasabb dimenziós rövidlátó öntaszító bolyongásra vonatkozó centrális határeloszlás-tétel bizonyítása a következőkből áll össze. A fő nehézséget az okozza, hogy a bolyongás úgynevezett hosszú memóriájú, azaz a következő lépést a bolyongás teljes addigi menete befolyásolja. Természetes észrevétel, hogy a környezet a bolyongó helyzetéből tekintve Markov-láncot alkot, így a probléma tulajdonképpen a Gauss-viselkedés bizonyítása egy Markov-lánc bizonyos additív funkcionáljára. Ennek az általános problémának számottevő irodalma van.

Az első eredmény Markov-láncok additív funkcionáljaira vonatkozó centrális határeloszlás-tétel témakörben Kipnis és Varadhan nevéhez fűződik [KV86]. Bizonyításukban (és a későbbi, általánosabb módszerekben is) a fő eszköz a stacionárius növekményű martingállal való közelítés. A martingáloknak kiterjedt irodalma van a valószínűség-számításban, többek között a stacionárius növekményű martingálokra vonatkozó centrális határeloszlás-tétel bizonyítása is régóta ismert. Kipnis és Varadhan módszere akkor alkalmazható, ha a megfelelő Markov-lánc reverzibilis; a mi esetünkben azonban nem ez a helyzet. Eredményük nem reverzibilis esetre történő általánosításai megtalálhatók többek között a [T86], [V96] és [SVY00] cikkekben. Ezek közül az utolsóban egy figyelemre méltó feltételt mondtak ki, amely elégséges a centrális határeloszlás-tételhez. Ez az úgynevezett ,,szintenkénti'' szektorfeltétel (graded sector condition).

A szintenkénti szektorfeltétel ellenőrzése a rövidlátó öntaszító bolyongásra haladó funkcionálanalízisbeli eszközöket igényel. A bizonyítást a Gauss-Hilbert-terek elméletének keretein belül végeztük. A bizonyításban a folyamat generátorára alkalmazzuk a rezolvenskalkulus eredményeit. A szükséges számításokat Fourier transzformáció révén végeztük, mert ebben az alakban az előforduló operátorok kezelhetők.

A diffúzió felső korlát a Brascamp-Lieb-egyenlőtlenségből következik. A modellből adódó természetes szimmetriák, különösen az ún. Jaglom-reverzibilitás jól kihasználhatók. Ez utóbbi szerint a bolyongás időben tükrözve és még egy módon megváltoztatva ugyanolyan eloszlású, mint az eredeti, és ennek hasznos következményei vannak a bizonyításban.

Az öntaszító Brown-polimerre a fenti módszerek szintén alkalmazhatók, egy számottevő különbséggel: a felső korlát bizonyítása technikailag egyszerűbb, pusztán a szimmetriákon alapuló megfontolásokból adódik.

Eddigi eredmények

Ahogy korábban említettem, bebizonyítottuk Amit, Parisi és Peliti sejtését három és magasabb dimenzióban; matematikailag precíz bizonyítást adtunk a rövidlátó öntaszító bolyongásra vonatkozó centrális határeloszlás-tételre ezen dimenziókban az előző fejezetben leírt módszerek révén. Diffúzió korlátokat is bizonyítottunk a bolyongó helyzetének szórására, melyek azt jelentik, hogy az idő négyzetgyökével normálva nemtriviális eloszlást kapunk, amely egy nem elfajuló normális (Gauss) eloszláshoz konvergál.

Kutatásaink során bizonyítottunk továbbá diffúzió korlátokat és centrális határeloszlás-tételt a Durrett és Rogers által bevezetett öntaszító Brown-polimer modellre is három és magasabb dimenzióban.

Találtunk továbbá egy új elégséges feltételt Markov-láncok additív funkcionáljaira vonatkozó centrális határeloszlás-tételre, mely általánosabb, mint a korábban említett szintenkénti szektorfeltétel. Mindazonáltal ennek felhasználására nem volt szükség a rövidlátó öntaszító bolyongáshoz és az öntaszító Brown-polimerhez, mert ezekben az esetekben magas dimenzióban az eredeti szintenkénti szektorfeltétel is alkalmazható. Az új módszer (melyet ,,relaxált szektorfeltételnek'' neveztünk el) még nem publikált. Következő feladatunk olyan modellek keresése, melyre ez természetes módon alkalmazható. Ez már túlmutat a rövidlátó öntaszító bolyongás modelljének vizsgálatán.

Várható impakt, további kutatás

A centrális határeloszlás-tétel bizonyítása a rövidlátó öntaszító bolyongásra magas dimenziós esetben mindenképpen áttörésnek mondható, hiszen egy több, mint 25 éves sejtést sikerült matematikailag megalapozottan igazolni számos korábbi, sikertelen próbálkozás után.

Az első, Markov-láncok additív funkcionáljaira vonatkozó centrális határeloszlás-tétel [KV86] egy fontos és sokat hivatkozott eredmény a sztochasztika területén. Bármilyen új módszer vagy általánosítás komoly érdeklődésre tarthat számot, éppen ezért a még nem publikált új fajta szektorfeltételünk várhatóan egy fontos előrelépés ezen a területen. Hogy várható hasznosságát igazoljuk, a továbbiakban azt vizsgáljuk, mely modellekre alkalmazható. Ez további kutatást igényel.

Saját publikációk, hivatkozások, linkgyűjtemény

[APP83] D. Amit, G. Parisi, L. Peliti: Asymptotic behavior of the "true" self-avoiding walk. Phys. Rev. B, 27: 1635–1645 (1983)

[DR92] R. T. Durrett, L. C. G. Rogers: Asymptotic behavior of Brownian polymers. Probab. Theory Rel. Fields 92: 337–349 (1992)

[HTV10] I. Horváth, B. Tóth, B. Vető: Diffusive limits for "true" (or myopic) self-avoiding random walks and self-repellent Brownian polymers in dimensions three or higher. http://www.math.bme.hu/~vetob/publ/htv3/horvath_toth_veto_paper.pdf, benyújtva (2010)

[KV86] C. Kipnis, S. R. S. Varadhan: Central limit theorem for additive functionals of reversible Markov processes with applications to simple exclusion. Commun. Math. Phys. 106: 1–19 (1986)

[SVY00] S. Sethuraman, S. R. S. Varadhan, H-T. Yau: Diffusive limit of a tagged particle in asymmetric simple exclusion processes. Comm. Pure Appl. Math. 53: 972–1006 (2000)

[T86] B. Tóth: Persistent random walk in random environment. Probab. Theory Rel. Fields 71: 615–625 (1986)

[T95] B. Tóth: The "true" self-avoiding walk with bond repulsion on Z: limit theorems. Ann. Probab. 23: 1523–1556 (1995)

[TV08] B. Tóth, B. Vető: Self-repelling random walk with directed edges on Z. Electr. J. Probab. 13: 1909–1926 (2008)

[TV09] B. Tóth, B. Vető: Continuous time "true"' self-avoiding random walk on Z. http://www.math.bme.hu/~vetob/publ/stsaw/stsaw_paper090506.pdf, benyújtva (2009)

[V96] S. R. S. Varadhan: Self-diffusion of a tagged particle in equilibrium of asymmetric mean zero random walks with simple exclusion. Ann. Inst. H. Poincaré – Probab. et Stat. 31: 273–285 (1996)

[V09] B. Vető: The "True" Self-Avoiding Random Walk in Z, Wolfram Demonstration Project (2009)