Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola 

BME TTK, Analízis Tanszék / Matematika Intézet

Témavezető: Dr. Petz Dénes

Nemkommutatív valószínűségszámítás és kvantum-információelmélet 

A kutatási téma néhány soros bemutatása

Kutatómunkám tárgya a nemkommutatív - vagy másképpen: kvantum - valószínűségelmélet. A matematikának ezen a nagyon széles területén belül leginkább különböző entrópiák és varianciák vizsgálatával valamint kvantum-információelméleti alkalmazásokkal foglalkozom.

A kutatóhely rövid bemutatása

A munkám különböző témavezetőkön és társszerzőkön keresztül több kutatócsoporthoz is kapcsolt.

A BME TTK Analízis tanszékén Petz Dénes professzor vezetésével nemzetközi szinten elismert kutatómunka folyik kvantum entrópia és kvantum-információelmélet témakörökben.

Az MTA SZTAKI Folyamatirányítási Kutatócsoportja többek között kvantummechanikai folyamatok tomográfiájával is foglalkozik, Hangos Katalin professzor asszony irányítása alatt. Az itt folyó kutatómunka ugyancsak nemzetközi szinten jegyzett.

A különböző csoportokban végzett munkám során részt vettem az OTKA K83440 és az OTKA K104206 projektekben.

 

A kutatás történetének, tágabb kontextusának bemutatása

Mind a kvantum-valószínűségelmélet, mind a kvantum-információelmélet a matematika legaktívabban kutatott területeihez tartozik napjainkban, utóbbi tudományterület pedig a fizikai és mérnöki aspektusai miatt kifejezetten interdiszciplináris. A kvantum állapottranszformációk egy széles osztályával - az ún. Pauli csatornákkal - a BME Analízis Tanszékén valamint az MTA SZTAKI Folyamatirányítási Kutatócsoportjában kezdtem el foglalkozni - még a BSc és MSc képzések alatt -, Ruppert László illetve Hangos Katalin vezetésével. Később Petz Dénes doktoranduszaként mátrix varianciák és entrópiák kutatását kezdtem el.

A kutatás célja, a megválaszolandó kérdések

A kutatás három kérdéskörrel is foglalkozik.

 

1. A kvantum-információelméletben kitüntetett jelentőséggel bír az entrópia. A témakör egyik legjelentősebb eredménye, hogy a Neumann-entrópia erősen szubadditiív.

A Neumann entrópia egy egyparaméteres kiterjesztése a Tsallis-entrópia, amely ugyan nem additív, de erősen szubadditív klasszikus valószínűségi eloszlások esetén. Nemkommutatív valószínűségi eloszlásokra (sűrűségi mátrixokra) azonban az erős szubadditivitás nem igaz általában.

Ez a tény két igen fontos kérdést vet fel: melyek azok a sűrűségi mátrixok, amelyekre a Tsallis entrópia erősen szubadditív, és milyen (az erős szubadditivitáshoz hasonló, és lehetőleg éles) egyenlőtlenség igaz a Tsallis entrópiára?

 

2. A kvantum-információelmélet egyik lényeges kérdése az állapottranszformációk tomográfiája. Az állapottranszformációk egy tág osztályát alkotják az általánosított Pauli csatornák. A cél qubit illetve az n-qubit rendszereken ható Pauli csatornák egy hatékony tomográfiáját leírni.

 

3. Fizikai szempontból is releváns a mátrix varianciák felbonthatóságának kérdése. A cél szükséges és elégséges feltételek meghatározása a variancia felbonthatóságára.

 

Módszerek

A Neumann-entrópia erős szubadditivitása levezethető a relatív entrópia monotonitásából.

Éppen ezért definiálunk egy leképezést, amely joggal tekinthető relatív Tsallis-entrópiának, és ennek a mennyiségnek a monotonitáshoz hasonló tulajdonságaiból származtatunk releváns egyenlőtlenségeket.

A mátrix varianciák felbonthatóságának kérdését átfogalmazzuk egy konvex geometriai problémává, ez az átfogalmazás a megoldás egyik kulcsfontosságú lépése.

Egy kvantum csatorna egy adott tomográfiás sémájának az optimalitását bizonyítani általában igen nehéz, viszont sokféle módszer áll rendelkezésre. A kutatás során mind analitikus, mind numerikus módszereket (pl. Monte-Carlo szimuláció) alkalmaztam.

Eddigi eredmények

Optimális tomográfiás eljárásokat terveztem ismeretlen irányú qubit Pauli csatorna becslésére, az optimalitást pedig - célfüggvénytől függően - analitikus és numerikus módszerekkel bizonyítottam (túlsúlyban vannak az analitikus érvelések). Ennek a munkának az eredménye egy TDK-dolgozat, amely 1. díjat nyert a 2013-as OTDK-n, az Alkalmazott Matematika szekcióban, valamint egy publikáció, amely 2012-ben jelent meg a Journal of Physics A folyóiratban.

A mátrix varianciák dekomponálhatóságának kérdésében korábban születtek olyan publikációk, amelyek elégséges feltételeket adtak a dekomponálhatóságra. A Petz Dénessel közös dolgozatomban (amelyet az Acta Sci. Math. (Szeged) folyóirat közlésre elfogadott) szükséges és elégséges feltételt adok, vagyis karakterizálom a megfigyelhető mennyiségek azon halmazait, amelyekre az indukált mátrix variancia felbontható. A korábban ismert eredmények ennek a tételnek az egyszerű speciális eseteiként adódnak.

A kvantum Tsallis-entrópiával kapcsolatos eredményeim egy része a klasszikus állapotokra ismert erős szubadditivitás igazolása a nemklasszikus állapotok egy (igen szűk) osztályára, valamint az erős szubadditivitás kérdésének átfogalmazása a relatív entrópiák nyelvére. Ezek a tételek itt olvashatók, a dolgozatot közlésre elfogadta a Mathematical Inequalities and Applications folyóirat.

Általánosabb, de a Tsallis-entrópiával kapcsolatban kifejezetten jól alkalmazható kérdést jár körbe a Pitrik Józseffel közös munkánk. Ebben a Bregman-divergencia együttes konvexitására adunk szükséges és elégséges feltételt. A karakterizációs tétel következménye egy a Tsallis-entrópiákra vonatkozó éles egyenlőtlenség, amely speciális esetként visszaadja a Neumann entrópia erős szubadditivitását.

 

Várható impakt, további kutatás

Mind a Pauli csatornákkal kapcsolatos munka, mind az entrópiákhoz kapcsolódó vizsgálatok eredményei a szakterület jelentős folyóirataiban jelentek meg (J. Phys. A impakt faktora: 1.766, Math. Inequal. Appl. impakt faktora: 0.588).

Továbbra is nyitott probléma az n-qubit rendszereken ható Pauli csatornák optimális tomográfiájának megtalálása.

Igazán érdekes kérdésnek tűnik továbbá, hogy az operátor értékű Bregman divergencia milyen feltételek mellett lesz együttesen konvex.

Saját publikációk, hivatkozások, linkgyűjtemény

Kapcsolódó saját publikációk listája

 

Folyóiratcikkek:

 

[1] L. Ruppert, D. Virosztek, K. M. Hangos, Optimal parameter estimation of Pauli

channels, J. Phys. A 45 (2012), no. 26, 265305, 14 pp.; MR2942597

 

[2]  D. Petz, D. Virosztek, A characterization theorem for matrix variances, to appear in Acta Sci. Math. (Szeged) in 2014. Available at arXiv:1311.3908

 

[3]  D. Petz, D. Virosztek, Some inequalities for quantum Tsallis entropy related to the strong subadditivity, to appear in Math. Inequal. Appl. in 2014. Available at arXiv:1403.7062

 

[4] J. Pitrik, D. Virosztek, On the joint convexity of the Bregman divergence of matrices, available at arXiv:1405.7885

 

Konferenciacikkek:

 

[5] D. Virosztek, L. Ruppert and K. M. Hangos, Pauli channel tomography with unknown channel directions, 10th Central European Quantum Information Processing Workshop, 2013, Valtice, Czech Republic

 

[6] D. Virosztek, Decomposition of matrix variances and subadditivities of certain entropies,

16th Workshop on Non-commutative Harmonic Analysis: Random Matrices, representation theory and free probability with applications, 2014, Będlewo, Poland

 

Hivatkozások listája

 

[1] E. Carlen, Trace inequalities and quantum entropy: an introductory course, Contemp.

Math. 529(2010), 73 - 140.

 

[2] R. Y. Chen, J. A. Tropp, Subadditivity of matrix ϕ-entropy and concentration of

random matrices. arXiv:1308.2952v1, 13 Aug., 2013.

 

[3]S. Furuichi, Information theoretical properties of Tsallis entropies, J. Math. Phys. 47,

023302 (2006)

 

[4]F. Hansen, Z. Zhang, Characterization of matrix entropies, arXiv:1402:2118v1, 10 Feb., 2014.

 

[5] D. Petz, H. Ohno: Generalizations of Pauli channels. Acta Math. Hungar., 124,

165-177, 2009.

 

[6] D. Petz, G. Toth, Matrix variances with projections, Acta Sci. Math. (Szeged),

78(2012), 683–688.